170 articles de mathématiques

Sur cette page se trouvent divers articles de mathématiques que j'ai écrits au fil des années. Certains sont très courts, d'autres beaucoup plus longs. Les articles sont plus ou moins triés par thèmes, mais gardons à l'esprit que les mathématiques ne se laissent pas facilement enfermer dans des cases.

• Algèbre

  1. Un diaporama sur la hiérarchie des structures algébriques.
  2. Les groupes cycliques.
  3. Les anneaux à 4 éléments.
  4. Les propriétés de la composition des polynômes.
  5. La composition des polynômes (bis). On creuse un peu.
  6. Quelles sont les familles de polynômes qui commutent entre-eux deux à deux pour l'opération de composition?
  7. Une construction de l'algèbre des polynômes.
  8. La division aux puissances croissantes de deux polynômes.
  9. Les polynômes de Tchebychev.
  10. Quels sont les idéaux du produit de deux anneaux ?
  11. Une suite de polynômes, reliés aux dérivées de la fonction arc tangente.
  12. Le corps des fractions d'un anneau intègre.
  13. Qu'est-ce qu'une puissance ?
  14. L'équation de degré 3.

• Algèbre linéaire

  1. Quel est le cardinal d'un espace vectoriel (non, ce n'est pas une coquille) ?
  2. Le théorème de Cayley-Hamilton.
  3. La décomposition de Cholesky d'une matrice symétrique définie positive.
  4. La diagonalisablité en base orthonormée des endomorphismes symétriques.
  5. Un exercice de diagonalisation.
  6. Les espaces vectoriels de dimension infinie.
  7. Matrices circulantes.
  8. Matrices circulantes qui sont une matrice de rotation.
  9. Résolution d'un système triangulaire.
  10. Matrices de Toeplitz tridiagonales.

• Algorithmique

  1. L'exponentiation rapide.
  2. La transformée de Fourier rapide.
  3. Permutations aléatoires : l'algorithme de Fisher-Yates.

• Analyse

  1. Les endomorphismes du corps C.
  2. Les endomorphismes du groupe des réels.
  3. Un gros espace vectoriel normé qui n'est pas un espace de Banach.
  4. Le théorème de Bolzano-Weierstrass : démonstration par dichotomie.
  5. Le théorème de Bolzano-Weierstrass : démonstration par utilisation de limites supérieures.
  6. L'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable.
  7. La structure de l'ensemble des points de continuité d'une fonction.
  8. La fonction de Thomae.
  9. L'ensemble des périodes d'une fonction périodique continue en au moins un point.
  10. Les coordonnées polaires.
  11. Le théorème de d'Alembert-Gauss.
  12. La notion de partie dense dépend de la topologie.
  13. Mélange des termes de la série harmonique.
  14. On ne dérive pas impunément un développement limité.
  15. Les dérivées de la fonction arc tangente.
  16. L'équation fonctionnelle f(2x)=f(x).
  17. Le théorème de Fejer.
  18. Les fonctions hyperboliques.
  19. Les fonctions circulaires réciproques.
  20. L'intégrale de Dirichlet.
  21. Les intégrales de Fresnel et la spirale de Cornu.
  22. Comment calculer l'inverse d'un réel sans faire de divisions.
  23. La formule de Machin.
  24. Modules de continuité.
  25. Les Q-normes.
  26. Comment calculer efficacement la racine carrée d'un réel.
  27. Se pourrait-il que 1+2+3+...=-1/12 ?
  28. Se pourrait-il que 1+2+4+8+...=-1 ?
  29. Une famille de fonctions au comportement intéressant en 0.
  30. Une construction des fonctions sinus et cosinus.
  31. Une suite réelle dont l'ensemble des termes est dense dans [-1,1].
  32. Le comportement à l'infini d'une fonction continue sous-additive.
  33. Deux suites d'intégrales liées au lemme de Riemann-Lebesgue.
  34. Une suite d'intégrales liées aux intégrales de Wallis.
  35. Suites récurrentes et fonctions contractantes.
  36. Le théorème des valeurs intermédaires.
  37. Le lien entre la continuité uniforme et une quasi-propriété de Lipschitz.
  38. Intégrales de Wallis.
  39. Un prolongement de la suite de Fibonacci à l'ensemble R.
  40. Dérivation et intégration fractionnaires.
  41. Quelles sont les parties d'un espace vectoriel normé qui sont à la fois ouvertes et fermées ?
  42. Le réel e est irrationnel.
  43. Le réel pi est irrationnel.

• Arithmétique et théorie des nombres

  1. L'algorithme d'Euclide
  2. Quels sont les entiers qui commutent pour l'élévation à la puissance ?
  3. Le test de primalité de Lucas-Lehmer.
  4. Le test de Primalité de Fermat-Pépin.
  5. Le test de primalité de Miller-Rabin.
  6. Quel est le pgcd de deux nombres de Fibonacci ?
  7. Il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4, et aussi à 1 modulo 4.
  8. Quelle est la « probabilité » que deux entiers soient premiers entre-eux ?
  9. La somme des diviseurs d'un entier, élevés à une certaine puissance.
  10. Une caractérisation des entiers qui sont la somme de deux carrés.
  11. Les triplets pythagoriciens.
  12. Les anneaux Z/nZ.
  13. La structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ.
  14. La fonction indicatrice d'Euler.
  15. Le théorème des restes chinois.
  16. Les nombres de Carmichael.
  17. La complexité algorithmique du crible d'Ératosthène.
  18. Les entiers d'Eisenstein.
  19. Les entiers de Gauss.
  20. Une somme de Gauss.
  21. Une équation de degré 2.
  22. Les nombres égaux à leur carré.

• Chaos et fractales

  1. Qu'est-ce que le chaos (première partie) ?
  2. Qu'est-ce que le chaos (deuxième partie) ?
  3. La sensibilité aux conditions initiales.
  4. La distance de Hausdorff.
  5. La fonction de Takagi.
  6. La fonction de Takagi entière.

• Combinatoire

  1. Une généralisation des coefficients binomiaux.
  2. La formule du crible.
  3. Les codes de Gray.
  4. Développements u-adiques.
  5. Le jeu de Dobble et les plans projectifs.
  6. La valuation p-adique d'une factorielle.
  7. L'ordre d'un produit de cycles de supports disjoints.
  8. Le permanent d'une matrice carrée.
  9. La décomposition d'une permutation en produit d'un nombre minimal de transpositions.
  10. Dénombrement de permutations qui ont au moins un cycle de longueur 2.
  11. Nombres de Stirling, nombres de Lah et nombres de Bell.
  12. Mots de Dyck et nombres de Catalan.
  13. Le triangle de Catalan.
  14. Couplages, triangulations et nombres de Catalan.
  15. Sommes de coefficients binomiaux.

• Divers

  1. Une généralisation de la propriété d'Archimède.
  2. L'arbre de Calkin-Wilf.
  3. La suite diatomique de Stern.

• Fondements, logique, ensembles

  1. Les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel.
  2. Le théorème de Cantor-Bernstein.
  3. Cardinalités transfinies.
  4. L'axiome du choix, le lemme de Zorn et le théorème de Zermelo.
  5. Peut-on définir une suite par récurrence ?
  6. Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les ensembles dénombrables sans jamais avoir osé le demander.
  7. La diagonale de Cantor.
  8. Ensembles constructibles.
  9. Ensembles constructibles (bis).
  10. Variables libres, variables liées.
  11. Logique formelle.
  12. Ordinaux.
  13. Les axiomes de Peano.
  14. Les axiomes de Peano (beaucoup plus complet que le précédent).

• Géométrie

  1. Méridiens et parallèles : les cercles d'Apollonius.
  2. Arcs paramétrés.
  3. En dimension infinie, l'orthogonal de l'orthogonal n'est pas toujours le sous-espace vectoriel initial.
  4. Le théorème de Jordan-Von Neumann : une norme qui vérifie l'identité du parallélogramme est euclidienne.
  5. L'inégalité de Hadamard : valeur absolue d'un produit mixte.
  6. Les polytopes réguliers en dimension quelconque.
     Un programme Python permettant de visualiser Les polyèdres convexes réguliers en dimension 3.
     Un programme Python permettant de visualiser Les polytopes convexes réguliers en dimension 4.
  7. Pourquoi une sphère n'a-t-elle qu'un centre ?
  8. Cubes et boules en grande dimension.

• Intégration numérique

  1. La méthode des rectangles.
  2. La méthode du point milieu.
  3. La méthode des trapèzes.
  4. La méthode de Simpson.

• Physique

  1. La dilatation du temps en mécanique relativiste.
  2. Le pendule simple.
  3. Les points de Lagrange.

• Nombres

  1. La construction de N.
  2. La construction de Z.
  3. La construction de Q.
  4. La construction de R.
  5. La construction de C.

• Probabilités

  1. Densités sur l'ensemble des entiers naturels.
  2. Autour de l'intégrale de Gauss.
  3. Autour de l'intégrale de Gauss (bis).
  4. Inverse d'une matrice aléatoire.
  5. La loi hypergéometrique.
  6. L'espérance du nombre d'orbites d'une permutation.
  7. Les nombres normaux.
  8. La probabilité qu'une permutation soit un cycle.
  9. Qu'est-ce qu'un nombre aléatoire ?
  10. Les bornes de Chernoff
  11. La loi forte des grands nombres.
  12. La loi géométrique.
  13. La loi géométrique (bis).
  14. Comment simuler une loi de Poisson ?
  15. La détermination de toutes les tribus sur un univers fini ou dénombrable.
  16. Chaînes de Markov et taille de l'univers.
  17. Un univers explicite pour une chaîne de Markov.
  18. Nombre fini de variables de Bernoulli indépendantes et taille de l'univers.
  19. Suite infinie de variables aléatoires indépendantes et taille de l'univers.
  20. Existe-t-il une suite de variables aléatoires indépendantes ?.